\section{线性空间的同构}


\begin{frame}{本节概要}
  \begin{enumerate}
    \item 给定$n$维线性空间$V$ 和 $V$的一组基$\symbb{B}$, 
      取向量的坐标给出了一个映射$V\rightarrow P^{(n)}$, $\alpha=\symbb{B}  X\mapsto X$.
      这是个双射，且保持加法和数乘 (即两个向量的和的坐标是各自的坐标之和，
      一个向量的倍的坐标是该向量的坐标的这个倍数)。
      这允许我们把线性空间$V$中的线性运算都归结为坐标向量的运算。
      由此我们引入线性空间的同构的概念。
      两个线性空间称为同构，若存在二者之间的保持线性运算的双射。
    \item 线性空间的同构保持且反映零向量、负向量、线性关系、
      线性相关性、维数、基等。
\item 同构的逆是同构，同构的复合也是同构。由此可知，同构作为线性空间上的关系是等价关系。
\item 数域 $P$ 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数。
  因此$n$维$P$-线性空间只有一个同构类，其中的一个代表元是 $P^n$. 
\item 在线性空间的抽象讨论中，我们并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运
  算是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质。从这个观点看，同
  构的线性空间是可以不加区别的。
  \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{向量的线性运算与其坐标的线性运算}
设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是线性空间 $V$ 的一组基，
在这组基下， $V$ 中每个向量都有确定的坐标， 而向量的坐标可以看成 $P^{n}$ 的元素。
 因此， 向量与它的坐标之间的对应实质上就是 $V$到 $P^{n}$ 的一个映射。
 显然， 这个映射是单射与满射， 换句话说， 坐标给出了线性空间 $V$ 与 $P^{n}$ 的一个双射。
 这个对应的重要性表现在它保持线性运算。
 \pause
 设
\[
 \alpha=a_{1}  \varepsilon_{1}+a_{2}  \varepsilon_{2}+\cdots+a_{n}  \varepsilon_{n}, \quad  \beta=b_{1} \varepsilon_{1}+b_{2}  \varepsilon_{2}+\cdots+b_{n}  \varepsilon_{n} .
\]
即向量 $ \alpha,  \beta$ 的坐标分别是 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right),\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$, 
那么
\[
  \begin{aligned}
     \alpha+ \beta&= \left(a_{1}+b_{1}\right)  \varepsilon_{1}+\left(a_{2}+b_{2}\right)  \varepsilon_{2}+\cdots+\left(a_{n}+b_{n}\right)  \varepsilon_{n}, \\
    k  \alpha&= k a_{1}  \varepsilon_{1}+k a_{2}  \varepsilon_{2}+\cdots+k a_{n}  \varepsilon_{n} .
\end{aligned}
\]
于是向量 $ \alpha+ \beta, k  \alpha$ 的坐标分别是
\[
  \begin{aligned}
    \left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, \cdots, a_{n}+b_{n}\right)&= \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)+\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right), \\
    \left(k a_{1}, k a_{2}, \cdots, k a_{n}\right)&= k\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) .
\end{aligned}
\]
以上的式子说明在向量用坐标表示之后， 它们的运算就可以归结为它们坐标的运算。
 因而线性空间 $V$ 的讨论也就可以归结为 $P^{n}$ 的讨论。
 为了确切地说明这一点， 先引入下列定义。

\end{frame}

\begin{frame}{线性同构}
  \begin{definition}\label{1A5}
  数域 $P$ 上两个线性空间 $V$ 与 $V^{\prime}$ 称为\emph{同构}的 (isomorphic)（记作$V\cong V'$）， 
如果存在双射$\sigma\colon V\rightarrow V^{\prime}$ 具有以下性质：
\begin{enumerate}
    \item $\sigma( \alpha+ \beta)=\sigma( \alpha)+\sigma( \beta)$;
      \item $\sigma(k  \alpha)=k \sigma( \alpha)$,
  \end{enumerate}
其中 $ \alpha,  \beta$ 是 $V$ 中任意向量， $k$ 是 $P$ 中任意数。
这样的映射 $\sigma$ 称为（线性）\emph{同构}映射 (linear isomorphism)。
\end{definition}

\pause
给定映射$\varphi\colon V\rightarrow V'$,
若$\varphi$满足条件 (1), 那么我们说 $\varphi$ 保持加法；若$\varphi$
满足条件 (2), 我们说$\varphi$保持数乘；
若$\varphi$同时满足两个条件，我们说$\varphi$保持线性运算（即保持加法和数乘）。
这样线性同构就是向量空间之间的保持线性运算的双射。
容易发现条件 (1) 和 (2) 可以合并为一条：
\begin{enumerate}
    \setcounter{enumi}{2}
  \item $\varphi(k \alpha + l\beta) =k\varphi(\alpha)+l\varphi(\beta)$, 对任意的$k,l\in P$, $\alpha,\beta\in V$.
\end{enumerate}
即 $\varphi$ 满足 (1) 和 (2) 当且仅当 $\varphi$ 满足 (3). 

~

\pause
前面的讨论说明在 $n$ 维线性空间 $V$ 中取定一组基后， 向量与它的坐标之间的对应就是 $V$ 到 $P^{n}$ 的一个同构映射。
 因而， 数域 $P$ 上任一个 $n$ 维线性空间都与 $P^{n}$ 同构。

\end{frame}


\begin{frame}{线性同构的性质}

由定义可以看出，同构映射 $\sigma$ 具有下列基本性质：
\begin{theorem}[同构的基本性质]
  \label{13F}
  \begin{enumerate}
      \item $\sigma(\symbf{0})=\symbf{0}, \sigma(- \alpha)=-\sigma( \alpha)$.
        \item $\sigma\left(k_{1}  \alpha_{1}+k_{2}  \alpha_{2}+\cdots+k_{r}  \alpha_{r}\right)=k_{1} \sigma\left( \alpha_{1}\right)+k_{2} \sigma\left( \alpha_{2}\right)+\cdots+k_{r} \sigma\left( \alpha_{r}\right)$.
          \item $V$ 中向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 线性相关的充要条件是它们的像 $\sigma\left( \alpha_{1}\right)$,
          $\sigma\left( \alpha_{2}\right), \cdots, \sigma\left( \alpha_{r}\right)$ 线性相关。

          \item 同构的线性空间有相同的维数。
          \item $V$中向量组$\symbb{B}=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$为$V$的基当且仅当
            $\sigma(\symbb{B})=(\sigma(\alpha_1),\cdots,\sigma(\alpha_n))$为$V'$的基。

          \item \label{13E}
              如果 $V_{1}$ 是 $V$ 的一个线性子空间，那么， $V_{1}$ 在 $\sigma$ 下的像集合
              \[
              \sigma\left(V_{1}\right)=\left\{\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V_{1}\right\}
          \]
          是 $V'$ 的子空间， 并且限制$\sigma|_{V_1}\colon V_1\rightarrow \sigma(V_1)$为同构，
          特别地，$\dim V_{1}= \dim \sigma\left(V_{1}\right)$.

      \item 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。%
        \footnote{
          我们看到线性空间间保持线性运算的双射 (即同构) 的逆映射仍然保持线性运算。
          有一定性质的双射的逆映射有时也有同样的性质 (尤其是保持某种代数结构的双射)，
          或在一定条件下有同样的性质 (如反函数定理中看到的，见例~\ref{137})。
          再例如，连续的双射的逆映射不必是连续的 (见~\cite[\S18, 例6]{Mun14})，
          %考虑映射
       %考虑 \(
       %   f\colon [0,1)\rightarrow S^1, t\mapsto (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t),
        %\)
        %其中$S^1$是平面$\bR^2$上的单位圆，视为$\bR^2$的(拓扑)子空间；
        %易知$f$为连续的双射，
      %但$f^{-1}$不连续，因为开子集$U=[0,\frac{1}{4})$在$f$下的像不是$S^1$的开子集。
    不过有对的情形，若$U\subset \bR^n$是开子集， 那么连续的单射$f\colon U\rightarrow \bR^n$
  是到像集的同胚；
  若$f\colon X\rightarrow Y$为连续双射, 其中$X$紧，$Y$~Hausdorff, 则$f$为同胚；
参见~\cite{Lab20}~及那里的参考文献。\cite[1.1.13]{Huy05}~是一个全纯函数的版本。}
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\pause
\end{frame}

\begin{frame}{}
  \begin{proof}
  \begin{enumerate}
      \item 在同构的定义的 (2) 中分别取 $k=0,-1$ 即得。
      \item 这是同构的定义的 (1) 与 (2) 结合的结果。

        \item 只用说明向量组$ \alpha_{1}$, $ \alpha_{2}$, $\cdots$, $ \alpha_{r}$ 与向量组 $\sigma\left( \alpha_{1}\right)$,
          $\sigma\left( \alpha_{2}\right)$, $\cdots$, $\sigma\left( \alpha_{r}\right)$ 有相同的线性关系。
          若$\sum_{i=1}^r c_i \alpha_i=0$, 则
          \[
              0=\sigma(0)=\sigma\left(\sum_{i=1}^r c_i \alpha_i\right)=\sum_{i=1}^r c_i \sigma(\alpha_i).
              \]
              反过来，若$\sum_{i=1}^r c_i \sigma(\alpha_i)=0$, 则 $\sigma(\sum_{i=1}^r c_i \alpha_i)=0$.
              $\sigma$是单射和$\sigma(0)=0$表明$\sum_{i=1}^r c_i \alpha_i=0$.
            \item 因为维数就是线性空间中线性无关向量的最大个数，所以由性质 (3) 可以推知。
            \item 由(3)知$\symbb{B}$线性无关当且仅当$\sigma(\symbb{B})$线性无关。
              而由(4)知$\dim V'=\dim V$,
              从而可知$\symbb{B}$为$V$的基当且仅当$\sigma(\symbb{B})$为$V'$的基。
            \item 对任意的 $\sigma(\alpha), \sigma(\alpha')\in \sigma(V_1)$ (其中$\alpha,\alpha'\in V_1$) 和 $k\in P$,
              \[
              \begin{aligned}
\sigma(\alpha)+\sigma(\alpha')&= \sigma(\alpha +\alpha')\in \sigma(V_1),\\
              k \sigma(\alpha) &= \sigma(k\alpha)\in \sigma(V_1),
            \end{aligned}
            \]
              即$\sigma(V_1)$对加法和数乘封闭，因此$\sigma(V_1)$为$V'$的子空间。
              限制映射$\sigma|_{V_1}\colon V_1\rightarrow \sigma(V_1)$显然是双射，且保持加法和数乘，
              因此是同构。由(4)知$\dim V_1=\dim \sigma(V_1)$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{6}
      \item 
          设 $\sigma\colon V \rightarrow V^{\prime}$ 为同构，
      显然逆映射 $\sigma^{-1}\colon V^{\prime}\rightarrow V$ 是双射。
我们来证 $\sigma^{-1}$ 还适合同构定义的条件 (1), (2).
      对 $ \alpha^{\prime},  \beta^{\prime}\in V^{\prime}$, 
        \[
          \sigma \sigma^{-1}\left( \alpha^{\prime}+ \beta^{\prime}\right) 
          = \alpha^{\prime}+ \beta^{\prime}
          =\sigma \sigma^{-1}\left( \alpha^{\prime}\right)+\sigma \sigma^{-1}\left( \beta^{\prime}\right) 
        =\sigma\left(\sigma^{-1}\left( \alpha^{\prime}\right)+\sigma^{-1}\left( \beta^{\prime}\right)\right) .
\]
由$\sigma$是单射知
\[
  \sigma^{-1}\left( \alpha^{\prime}+ \beta^{\prime}\right)=\sigma^{-1}\left( \alpha^{\prime}\right)+\sigma^{-1}\left( \beta^{\prime}\right).
\]
条件 (2) 可以同样地证明。
再设 $\sigma\colon V\rightarrow V'$ 和 $\tau\colon V'\rightarrow V''$ 为同构， 我们来证乘积 $\tau \sigma\colon V\rightarrow V^{\prime \prime}$ 为同构。
显然， $\tau \sigma$ 是单射与满射。
 由
\[
  \begin{gathered}
  \tau \sigma( \alpha+ \beta)=\tau(\sigma( \alpha)+\sigma( \beta))=\tau \sigma( \alpha)+\tau \sigma( \beta) \\
\tau \sigma(k  \alpha)=\tau(k \sigma( \alpha))=k \tau \sigma( \alpha)
\end{gathered}
\]
看出， $\tau \sigma$ 保持加法和数乘， 因而是同构映射。
    \end{enumerate}
  \end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}{有限维线性空间的分类}

  同构作为线性空间之间的关系是等价关系，即同构具有自反性、对称性与传递性：
  \begin{enumerate}
    \item 自反性（$V\cong V$）：
      恒等映射$1_V\colon V\stackrel{=}{\rightarrow} V$显然是同构。
    \item 对称性（若$V\cong W$, 则$W\cong V$）：
      若$\sigma\colon V\rightarrow W$是同构，则$\sigma^{-1}\colon W\rightarrow V$是同构。（见性质 6）
    \item 传递性（若$V\cong W, W\cong U$, 则$V\cong U$）：
      若$\sigma\colon V\rightarrow W, \tau\colon W\rightarrow U$是同构，
      则$\tau\sigma\colon V\rightarrow U$是同构。（见性质 6）
  \end{enumerate}

\pause
既然数域 $P$ 上任意一个 $n$ 维线性空间都与 $P^{n}$ 同构，由同构的对称性与传递性即得，数域 $P$ 上任意两个 $n$ 维线性空间都同构。
综上所述，我们有
\begin{theorem}
数域 $P$ 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数。
\end{theorem}

\pause
在线性空间的抽象讨论中， 我们并没有考虑线性空间的元素是什么， 也没有考虑其中运算是怎样定义的，
而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质。
从这个观点看，同构的线性空间是可以不加区别的。
因此，上述定理表明维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。


特别地，每一个数域$P$上$n$维线性空间都与$P^n$同构，而同构的空间有相同的性质。
由此可知，我们以前对$P^n$中得到的一些结论，在一般的$n$维线性空间中也成立，
从而不必再一一证明了。
\end{frame}


\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 何谓线性空间的同构？
      线性同构有哪些性质？
    \item 有限维向量空间相差个同构意义下的分类是？
      即每个$n$维$P$-线性空间有何同构的代表元？
  \end{enumerate}
\end{frame}
